구사과

예전에 남부순환로 문제를 출제할 때 Mergeable heap에 관해서 사람들과 논의하던 때가 있었는데, Leftist heap / Randomized mergeable heap 모두 딱 와닿는 느낌의 논증은 없었던 것 같다. 최근에 Skew heap이라는 걸 접했는데 굉장히 짧고 아름다운 논증이 존재해서 소개한다. (아쉽게도 Worst-case bound가 아니라 남부순환로 문제에는 사용할 수 없다. 이론적으로는.)목표는 Merge 연산을 Amortized $O(\log n)$ 에 수행하는 것이다. 이것만 수행하면 Init, ExtractMin은 따라온다.두 트리를 머지할때 오른쪽 자식을 따라서 path를 타고 가자. 이 path를 따라 적힌 값들은 증가한다. 고로 이 path를 따라서 merge so..

(출처는 https://algorithmsoup.wordpress.com/2018/09/18/soviet-version-of-cantors-diagonalization-argument/ 이다.)소비에트 연방에는 무한히 많은 인민들이 있다.최근 공산당에 대해서 불만을 느낀 인민들은 지하조직을 결성하게 되었다. 그래서 모든 인민의 부분집합에 대해 이에 대응되는 지하조직이 생겼다. 이 중에는 공집합인 지하조직도 있고, 모든 인민을 포함하는 지하조직도 있다.지하조직은 국가에 불안정을 줄 수 있으니, 공산당은 이 문제를 "해결"하기 위해 모든 인민들에 대해 정확히 하나의 지하조직을 감시하게 시켰다. 각 인민들이 감시하는 지하조직은 서로 다르다.만약에 어떠한 인민이 자신이 속하는 지하조직을 감시하면 이 인민은 행복..

2021.??.?? problem solving이라고 적혀 있는 글이었습니다. 정확히 이 때 이 글을 왜 적었는지는 기억이 안 납니다. 당시에 문제를 몇개 더 풀어서 다른 글과 함께 올리려고 했었는데, 많이 미뤄지기도 했고, 그 문제들은 따로 올리는 게 좋을 것 같아서 그냥 올립니다. 9월까지 알고리즘 글이 최소 5개는 더 올라올 것으로 예상됩니다.AMPPZ 2019 C. Polygon수열 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 을 가지고 볼록 다각형을 만들 수 있을 조건은, 가장 긴 변을 제외한 변들의 길이 합이 가장 긴 변보다 길면 됩니다. 수열을 정렬한 후, 가장 긴 변을 $i$ 번이라고 합시다. 그보다 작은 변들은 합만 특정 수 이상이 되면 되니까, 그냥 전부 골라주면 됩니다. 고로 $1 \l..

Part 1. Uniform SamplingGiven an undirected unweighted graph $G = (V, E)$, A $(1 \pm \epsilon)$ cut sparsifier $H = (V, F, w)$ satisfies the following:$F \subseteq E$For all $\emptyset \subsetneq S \subsetneq V$ it holds that $\delta_w(H, S) \in [(1 - \epsilon)\delta_{\mathbf{1}}(G, S),(1 + \epsilon)\delta_{\mathbf{1}}(G, S)]$This is a sparsification that preserves the cuts. Compare this to the ..

Given an undirected unweighted graph $G = (V, E)$, A $(1 \pm \epsilon)$ cut sparsifier $H = (V, F, w)$ satisfies the following:$F \subseteq E$For all $\emptyset \subsetneq S \subsetneq V$ it holds that $\delta_w(H, S) \in [(1 - \epsilon)\delta_{\mathbf{1}}(G, S),(1 + \epsilon)\delta_{\mathbf{1}}(G, S)]$This is a sparsification that preserves the cuts. Compare this to the distance spanner, which ..

Undirected graph $G = (V, E)$ 에 대해, $G$의 $t$-spanner $H = Spanner(G,t) = (V, E^\prime)$ 는 다음 성질을 만족한다: $E^\prime \subseteq E$ 모든 $u, v \in V$ 에 대해, $dist(H, u, v) \le dist(G, u, v) \times t$ $E^\prime$ 의 크기가 작음 즉, 최단 경로를 Approximate하게 보존하는 Sparsification이다. Equivalent하게, 다음과 같이 표현할 수도 있다. $E^\prime \subseteq E$ 모든 $(u, v) \in E$ 에 대해, $dist(H, u, v) \le dist(G, u, v) \times t$ $E^\prime$ 의 크기가 작..

Even-Shiloach Algorithm은 Unweighted directed graph $G = (V, E)$ 에 대해서 incremental / decremental SSSP를 빠르게 해결하는 알고리즘이다. Naive하게는 매번 BFS를 해서 $O(m^2)$ 시간에 해결할 수 있는데, 이 알고리즘을 사용하면 이를 $O(nm)$ 으로 최적화할 수 있다. $O(m^2)$ 에 비해서 엄청나게 효율적이진 않지만 분명히 nontrivial한 bound이고, 내가 아는 state-of-the-art method는 전부 다 Near-linear가 아니라 $O(nm)$ 에 훨씬 가까운 바운드이다. 그것도 복잡한 알고리즘들이 대다수. 이 글에서는 원래 Even-Shiloach Algorithm보다 강한 statem..

Example 1 (https://koosaga.com/319 마지막 단락) 그래프가 주어질 때 이 그래프의 maximal independent set 을 구하는 문제를 생각해 보자. maximal independent set은 maximum independent set을 approximate할 수 없다. 하지만 maximal matching과 $\Delta+1$ edge coloring을 구하는 데 사용할 수 있고 이들은 각각 그들의 optimal variant의 constant approximation이다. 다음 과정을 정점이 1개 이상일 때까지 반복하면 된다: 각 노드에 $[0, 1]$ 사이의 random real을 배정한다. 이를 $r(v)$ 라고 하자. 만약 어떠한 노드에 대해 $\max_{w ..

PA 2016. Shuffle 문제에서 주어진 셔플 연산은 카드 덱을 뒤집는 연산과 동일합니다. 이 사실은 수학적 귀납법으로 증명 가능합니다. $2$ 개의 카드에 대해서는 자명히 뒤집는 연산과 동일합니다. $2^k$ 개의 카드에 대해서는, 덱을 절반으로 나눈 후 각각을 뒤집고 둘의 순서를 바꾸는 것이니, 이 역시 뒤집는 연산과 동일합니다. 카드 덱을 두번 뒤집는 건 아무것도 안하는 것과 동일하니, $t$ 가 홀수일 때 배열을 뒤집은 후 출력해 주면 됩니다. ROI 2022 P5. Максимизация выигрыша 입력으로 주어진 문자열의 길이가 $19$ 이하일때만 문제를 해결할 수 있어도 됩니다. 만약 맨 앞 문자가 전체 문자열의 최댓값이 아닐 경우, 가장 가까운 최댓값을 맨 앞 문자로 옮깁니다. ..

https://dl.acm.org/doi/pdf/10.5555/982792.982916 Cut-cycle duality에 의해 $G$ 에서 minimum cut을 찾는 것은 $G^*$ 에서 minimum cycle을 찾는 것과 동일하다. 아이디어는, $G^*$ 에서 적당한 사이클 $C$를 찾은 다음, $C$의 *안* 과 *밖* 에 대해서 분할 정복을 하고, 이후 $C$의 안과 밖을 오가는 사이클을 찾는 것이다. 분할 정복이 성립하려면 일단 $C$가 $G^*$ 의 Face들을 공평하게 쪼개야 할 것이다. 이런 $C$는 $O(n)$ 시간에 찾을 수 있다. $G^*$ 의 모든 Face를 대각선에 $\infty$ 가중치 간선 넣고 대충 triangulate하자. 다음, $G^*$ 에서 아무 정점을 잡고, sho..